Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán Trung học Cơ sở. Vậy cụ thể trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 lớp 9 có gì giống và khác nhau? Cách giải bài toán chứng minh o là trung điểm ef?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Trung điểm là gì?

Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A,B và cách đều A,B hay MA=MB. Trung điểm của đoạn thẳng AB còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB

Chú ý: Điểm M nằm giữa hai điểm A,B ⇔MA+MB=AB

Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình

Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học có liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách CM trung điểm cơ bản.

Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh theo định nghĩa

Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh đồng thời M nằm giữa A,B và MA+MB

Ví dụ:

Cho đoạn thẳng AB=8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C,D sao cho AC=BD=3cm. Chứng minh M là trung điểm CD

Cách giải:

Vì M là trung điểm AB nên MA=MB=4cm

Vì M,C cùng phía với A mà AM>AC nên C nằm giữa AM

⇒MC=MA−CA=1cm

Tương tự ta có MD=1cm

Mặt khác : CD=AB−AC−BD=2cm

Như vậy ta có :

MC=MD=1cm; MC+MD=CD

⇒M là trung điểm CD

Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào các tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.

Cho tam giác ABC với M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB

Khi đó:

AM,BN,CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC,CA,AB . 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC . 3 đoạn thẳng MN,NP,PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC

Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG,BG,CG lần lượt đi qua trung điểm của BC,CA,AB . Đồng thời : AG/AM = BG/BN = CG/CP = 2/3.

Tính chất đường trung bình: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 12 cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB>BC . BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE,BD,BA lần lượt tại F,G,K DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm đoạn BC

Cách giải:

Xét ΔBCK có

BF vừa là đường cao, vừa là phân giác nên ΔBCK cân tại B

⇒BC=BK và BF là trung tuyến

⇒CF=FK.

Xét ΔCKA có

CF=FK;CD=DA ⇒FD là đường trung bình

⇒FD//AB⇔MD//AB

Mà CD=DA nên ⇒CMCB=CDCA=12

⇒M là trung điểm BC.

Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau

Đường trung bình hình thang

Cho hình thang ABCD hai đáy là AB,CD. Khi đó MN được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD ⇔ MN∥AB;MN=AB+CD/2 và M,N là trung điểm của AB,BC

Đường chéo hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD với hai đường chéo AC,BD . Khi đó AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đoạn.

Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên

Ví dụ:

Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC,BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD . MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm MN

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có : DI=MI

Xét ΔDIM và ΔBIN có :

góc DIM= góc BIN ( hai góc đối đỉnh )

DI=BI ( chứng minh trên )

góc MDI= góc NBI ( hai góc so le trong )

Vậy ⇒ΔDIM=ΔBIN ( góc – cạnh – góc )

Vậy ⇒IN=IM hay I là trung điểm MN

Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào các tính chất của đường tròn

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB⊥MN⇒ AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại , nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB⊥MN

Ví dụ:

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của (O) ( P nằm giữa M và Q) song song với BC cắt AC tại E . Chứng minh rằng E là trung điểm PQ

Cách giải:

Vì MA,MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) nên ⇒MA=MB

Xét ΔMAO và ΔMBO có

MA=MB ( chứng minh trên )

MO chung

OA=OB ( bán kính (O) )

Vậy ⇒ΔMAO=ΔMBO ( cạnh – cạnh – cạnh )

⇒góc MOA = góc MOB

⇒góc MOA = góc AOB/2 (1)

Vì PQ∥BC⇒góc MEA = góc BCA ( đồng vị )

Mà góc BCA = góc AOB/2⇒ góc MEA = góc AOB/2(2)

Từ (1)(2)⇒ góc MEA = góc MOA

⇒ tứ giác MOEA nội tiếp

⇒góc MEO = góc MAO = 90∘ ( do MA là tiếp tuyến )

⇒EO vuông góc với dây cung PQ

⇒E là trung điểm PQ

Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Đối xứng trục

Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB . Khi đó AB⊥d và d đi qua trung điểm của AB

Đối xứng tâm

Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề CM trung điểm cũng như cách chứng minh trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt